Ευκλείδειες Γεωμετρίες

Η άρση του 5ου ευκλείδειου αξιώματος {από ευθεία (γραμμή) και σημείο εκτός ευθείας (γραμμής) είναι δυνατή η χάραξη μίας και μόνο παράλληλης [ως προς την ευθεία (γραμμή)] ευθείας (γραμμής)}, συνέταξε την αρχή των μη ευκλείδειων γεωμετριών. (Η άρση προέκυψε με την αποσύνδεση του 5ου αξιώματος από τα υπόλοιπα 4). Ωστόσο, η αποσύνδεση του 5ου αξιώματος εκ των υπολοίπων 4ων (και δη εκ του 2ου), είναι σαφώς αυθαίρετη καθώς:

i. Είναι ευνόητο ότι η υποτιθέμενη προκύπτουσα εξ’ ενός σημείου γραμμή δύναται να εκληφθεί μόνο ως άπειρη, καθώς εκ της απουσίας ετέρου σημείου προκύπτει η αδυναμία υφιστασίας πέρατος της ευθείας. (Κανόνας).

ii. Είναι ευνόητο ότι η πεπερασμένη ευθεία (γραμμή) ή η, (υποτιθέμενη “άπειρη”, καθώς υποχρεούμεθα να ορίσουμε το πέρας για να αντιληφθούμε το άπειρο, ώστε να αποφύγουμε λήψη του ζητουμένου), ευθεία (γραμμή) δεν τέμνει όσο δύναται να καταστεί αντιληπτό την πεπερασμένη (γραμμή). (2ος Κανόνας).

iii. Η αδυναμία τομής της περατής ευθείας (γραμμής) με την (υποτιθέμενη) άπειρη ευθεία (γραμμή) προκύπτει μόνο έαν υιοθετήσουμε τη θέση ότι “μία πεπερασμένη ευθεία γραμμή δύναται να επεκταθεί μονίμως σε μία (ευνοήτως υποτιθέμενη ‘άπειρη’), ευθεία γραμμή” (2ο ευκλείδειο αξίωμα), και (προκύπτει), εάν συνειδητοποιηθεί ότι δεν δύναται να αποβεί αντιληπτό ότι τέμνονται σε περατό χώρο. Πιο απλά: Δεν μπορούμε να δούμε μία περατή ευθεία γραμμή να τέμνεται με μία άπειρη σε περατό χώρο. Συμπερασματικά, άπαξ και δεν αποβαίνει συνειδητό ότι δεν δύναται να καταστεί αντιληπτό ότι τέμνονται σε περατό χώρο, προκύπτει ως απολύτως και απαραίτητα αναγκαία η υιοθέτηση της θέσης του 2ου ευκλείδειου αξιώματος. (Συμπέρασμα).

Είναι, ωστόσο, σαφές, ότι τα ii και iii αφορούν μόνο περατές ευθείες (γραμμές). Είναι όμως ευνόητο, ότι, καθώς και η αδυναμία τομής προκύπτει μόνο σε περατό χώρο (καθώς καθίσταται αντιληπτή μόνο σε περατό χώρο), μόνο σε περατό χώρο είναι δυνατόν και να καταστεί αντιληπτή. Επομένως (και καθώς και υποχρεούμεθα να ορίσουμε το πέρας ώστε να προσδιορίσουμε το “άπειρο” προς αποφυγή λήψεως του ζητουμένου), το ερώτημα εάν υποτιθέμενες παράλληλες [καθώς είναι πρακτικώς αδύνατη η εγχάραξη απολύτου ευθείας (γραμμής)] ευθείες (γραμμές) τέμνονται στο “άπειρον” ορίζεται, (πλην από περιττό), και ως ανόητο. Ωστόσο, ανεξαρτήτως αναγκαιότητας αποδοχής της κράσης μεταξύ 5ου και 2ου αξιώματος, είναι σαφές, ότι το 5ο (όπως και το 2ο), ευκλείδειο αξίωμα ουσιωδώς ορίζεται ως αίτημα, καθώς διατυπώθηκε υπό το κράτος λήψεως του ζητουμένου, δηλονότι η εγχάραξη απολύτου παράλληλης ευθείας (γραμμής) είναι και πρακτικά και υποθετικά αδύνατη.

Πέτρος Λάζος.

Τα σχόλια έχουν κλείσει.